Автор: Ержанқызы Бақжан

Современные инновации в образовании

Фрагмент для ознакомления

Шекті элементік әдісінің негізгі ұғымдары Шекті элементтік әдісі (ШЭӘ) - құрылыс механикасы, деформацияланатын қатты денелер механикасы, жылуөткізгіштік, гидромеханика және т. б. есептерін шешудегі негізгі әдістердің бірі. Бұл тәсіл – еркіндік дәрежесі шексіз санға тең тұтас ортаны еркіндік дәрежесі нақты санға тең және бір-бірімен түйіндес нүктелер арқылы байланысқан қарапайым элементтер жиыны ретінде аппрокцимациялауға негізделген. Қолданылу аясының кеңдігі, құрылым геометриясы мен материалдардың механикалық сипаттамаларына қатысты инвирианттылығы, конструкция (құрылғы) мен сыртқы орта (механикалық және температуралық күштер, шекаралық шарттар т. б.) әсерін ескерудің қарапайымдылығы, есептердің барлық этаптарының автоматтандырылуға бейімділігі – ШЭӘ-нің негізгі сипаттамасы болып табылады. Бұл әдістің танымалдығы, сонымен қатар, оның физикалық интерпретациясының қарапайымдылығы - тұтас орта механикасы мен құрылыс механикасында кеңінен қолданылатын Ритц және орын ауыстыру әдістерімен байланысында болса керек. ШЭӘ - әр түрлі тұжырымдалғанына қарамастан, барлық жағдайда, мынадай негізгі есептеу этаптарынан тұрады: - қарастырылып отырған облысты шекті элементтерге бөлу; - тәуелді айнымалыларды әрбір шекті элемент үшін белгісіз үзікті-полиномиальды функциялар арқылы аппрокцимациялау; - аппрокцимациялайтын функцияларды анықтаушы теңдеу элементтің ішіндегі ізделінді функцияны олардың түйіндес нүктелеріндегі мәні арқылы толық анықтайтын осы теңдеулер шешімдеріне қою. Математикалық көзқарас тұрғысынан алғанда, ШЭӘ-шектік элемент әдісі сызықтық функциясының сызықтық комбинациясын іздестіру жолымен потенциалдық энергия функционалының минимумын қамтамасыз ететін Рэлея-Ритца-Галеркин әдісін жалпылау болып табылады, мұндағы – алгебралық теңдеулерден анықталатын коэффициенттер. Негізгі мәселе – есептеудің қарапайымдылығы мен қажетті дәлдігін қамтамасыз ететін, сызақтық функциясын таңдауда жатыр. ШЭӘ-нің ерекшелігі сонда, ол бұл функцияны тек бір түйіннің маңында нөльден өзгеше үздікті – полиномиальды түрде алады және коэффициенті белгілі бір физикалық мағынаға ие. Мұнда біз базалық ШЭӘ-сін орын ауыстыру әдісі түрінде аламыз. Бұл жағдайда шешуші теңдеу қарастырылып отырған жүйенің орын ауыстыру компоненттері арқылы өрнектелген деформацияның толық потенциалды энергиясын минимизациялау жолымен алынады. Бұл теңдеулер қарапайым физикалық мағынаға ие: олар жүйе түйіндерінің тепе-теңдігін сипаттайды; ізделінді белгісіздер Ритц әдісіндегі салмақтық коэффициенттерге сәйкес келетін, түйіннің орын ауыстыру компоненттері болып табылады. Орын ауыстыру әдісі түріндегі ШЭӘ-мен есептеу төмендегідей сатылардан тұрады: - конструкцияны шекті элементтерге бөлу және топологиялық, геометриялық және физикалық мәліметтерді дайындау; - қоршаған ортамен өзара әсер факторларын тиянақтау; - бөліп алынған шекті элементтер үшін тиісті матрицаларды (қатаңдық, ауырлық, жылу өткізгіштік) және элемент түйіндерінің орын ауыстыру мен реакциялар арасындағы тәуелділікті анықтайтын векторларды құру; - шешуші сызықты алгебралық немесе дифференциалды-алгебралық есептерде (стационар емес) теңдеулер жүйесін қалыптастыру; - алынған теңдеулер жүйесін шешу және орын ауыстырулар, ішкі күш факторлары температуралар өрістерін анықтау; - қорытынды мәліметтерді өңдеу және оған анализ жасау. Аталған сатылар әмбебап алгоритмдеуге бейім және олардың бағдарламалық іске асыру стандартты подпраграммалық қор бар кезде анау айтқан қиындық туғызбайды. Математикалық анализдің сандық әдістерін қолдану бастапқы объектіні тиісті идеализациялауға тікелей байланысты. Осы тұрғыдан алғанда ШЭӘ үлкен мүмкіндіктерге ие. Бұл әдістің негізіне қарастырып отырған аумақты қарапайым геометриялық пішінге ие жекелеген элементтерге бөлу жатады. Әсіресе, төртбұрышты және үшбұрышты элементтерге, бөліктерге бөлу үлкен мүмкіндіктер ашады. Элементтерге бөлу түйіндер арқылы іске асырылады. Бұл түйіндерде орын ауыстырудың тепе-теңдік және үзіліссіздік шарттары толығымен қанағаттандырылады. Қарастырып отырған аумақты элементтерге бөлу, бір қарағанда элементар элементтің кез келген қимасындағы кернеу өзгерісінің сызықтық заңдылығы туралы болжаммен едәуір дәрежеде компенцацияланатын орын ауыстырудың элементтерінің түйіндер арасындағы бөлігінің үзіліссіздігіне нұқсан келтіретіндей болып көрінуі мүмкін. Бұл элементтің деформациясына оның байланыстары шектейтін бір жағынан алғанда деформацияның үзіліссіздік шартын сақтауды жақсартуға, екінші жағынан түйіндік нүктелерде кернеу концентрациясын туғызбауға себеп болатын шектеу қоюға әкеліп соғады. Осыдан берілген аумақты белгілі бір пішіндегі элементтерге бөлу, оны сол жекелеген элементтерге бөліп тастау емес екендігі шығады. Нақты жағдайда, шекті элементтер дегеніміз деформациясы, мүмкіндігінше есептік үлгі деформациясының үзіліссіздігі сақталатын белгілі түрде өзгеретін шектеу қойылған серпімді элементтер. Есептің дәлдігін есептік үлгідегі шекті элементтің санын өсіру арқылы жетуге болады, өйткені бұл жағдайда орын ауыстырудың үзіліссіздігі шарты біршама көп нүктеде қанағаттандырылады. Жоғарыда ШЭӘ келтірілген түсініктеме жеткілікті дәрежеде айқын болғанымен, қатаң математикалық негіздеу тұрғысынан алғанда жеткіліксіз. Сондықтан шектік элемент әдісіне классикалық энергетикалық тұрғыдан қарастырамыз.